Geometrie
Anwendung grundlegender Kreissätze für die Herleitung geometrischer Aussagen
Bachelorarbeit aus dem Jahr 2022 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 2,1, Universität Hildesheim (Stiftung), Sprache: Deutsch, Abstract: Die Arbeit beschäftigt sich mit drei Kreissätzen aus der Geometrie, mit denen sich die Winkel von Figuren wie Dreiecken undVierecken innerhalb von Kreisen berechnen lassen. Anwendungsbeispiele für die Berechnung der jeweiligen Innenwinkelsummen der Figuren sind ebenfalls Teil dieser Arbeit. Die Leserinnen und Leser bekommen einen Einblick über die Beziehungen von Geraden und Kreisen. In der Arbeit wird großer Wert auf die Darstellung von Abbildungen und die Beweise der Sätze gelegt.Kreissätze sind in der Geometrie sehr umfangreich zu finden. Durch Thales wurden alltägliche Aussagen der Ägypter und Babylonier zu Kreissätzen der Geometrie. Folglich wurden weitere Kreissätze gebildet und sind heute ein wichtiger Begleiter in der Universität und Schule, sowie auf der Arbeit. Die Arbeit basiert auf dem Artikel "Circles Revisted" von Burke. Es werden Kreissätze angewendet um geometrische Aussagen herzuleiten und zu berechnen. Es wird gezeigt, welcher Kreissatz für die jeweilige Aussage verwendet werden kann und wie die Anwendung erfolgt. Beispielsweise gibt es eine Aussage über die Innenwinkel von einem Sechseck. Diese besagt, dass wenn die Eckpunkte des Sechsecks der Reihe nach nummeriert werden, die geradzahligen Eckpunkte den ungeradzahligen Eckpunkten in ihren Winkelmaßen gleichen. Solch eine Aussage kann mithilfe der Kreissätze berechnet und gezeigt werden. Wie diese Berechnung erfolgt, wird in Kapitel 4 gezeigt.
Beweis zum Feuerbachkreis im Dreieck mit elementaren Eigenschaften
Das Spiel "Dobble" als Modellraum der endlichen projektiven Ebene der Ordnung 7
Bachelorarbeit aus dem Jahr 2021 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,0, Eberhard-Karls-Universität Tübingen, Sprache: Deutsch, Abstract: Diese Arbeit wird sich genauer mit dem Zusammenhang des Spiels "Dobble" mit projektiven Ebenen beschäftigen und zeigen, dass das Kartenset zu einem Modellraum der projektiven Ebene der Ordnung 7 wird, indem es um zwei geeignete Karten erweitert wird. Über diesen Zusammenhang lassen sich auch Konsequenzen für das Spiel sowie Spielvarianten des Spieles schließen. Hierfür werden zunächst endliche projektive Ebenen und ihre Ordnungen definiert, woraufhin auf die noch immer ungelöste Frage eingegangen wird, zu welchen Ordnungen und mit wie vielen Punkten projektive Ebenen existieren. Die Dualität projektiver Ebenen, die er erlaubt, Punkte und Geraden zu vertauschen, ist Gegenstand des darauf folgenden Abschnitts, bevor schließlich der Zusammenhang projektiver Ebenen mit affinen Ebenen ausgeführt wird. Über diesen Zusammenhang soll schließlich der Darstellungssatz für projektive Ebenen gezeigt werden, aus dem die Eindeutigkeit der projektiven Ebene der Ordnung 7 folgt.Das dritte Kapitel dieser Arbeit widmet sich dem Kartenspiel "Dobble". Nachdem zunächst gezeigt wird, dass das Kartenset in der im Spiel vorliegenden Version keine projektive Ebene ist, werden die zwei fehlenden Karten konstruiert. Außerdem wird mithilfe der Eigenschaften projektiver Ebenen gezeigt, dass tatsächlich alle Spielvarianten immer spielbar sind. Zuletzt wird überlegt, welche weiteren Spielvarianten aus diesen Eigenschaften für das Kartenspiel folgen.
Die Welt der geometrischen Körper & ihre Eigenschaften exemplarisch erarbeitet an Würfel und Quader
Fraktalgeometrie: Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension - Teil 1
Studienarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,3, Universität Kassel (Institut für Mathematik), Veranstaltung: Fachwissenschaftliches Seminar, Sprache: Deutsch, Abstract: In der nachfolgenden Arbeit soll die Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension, Teil 1 behandelt werden. Vorab wird der Begriff "Fraktale" im Allgemeinen beschrieben und erklärt. Zur Verdeutlichung des Begriffs wird ferner auf die unterschiedlichen Eigenschaften der Fraktale, die das Grundgerüst der Fraktalgeometrie und den Schwerpunkt der Arbeit bilden, eingegangen. Des Weiteren wird die Selbstähnlichkeit dargestellt, die sich unter anderem zwischen der exakten und der statistischen Selbstähnlichkeit unterscheiden lässt. Einige Beispiele sollen diesen Unterschied deutlich machen und herauskristallisieren. Darauf aufbauend wird die Selbstähnlichkeitsdimension allgemein definiert sowie die Formel zu ihrer Berechnung abgeleitet. Anschließend wird sich den mathematischen Fraktalen zugewandt. Im Mittelpunkt stehen die Cantor-Drittelmenge und das Sierpinski-Dreieck, bei denen jeweils die Selbstähnlichkeit sowie deren Dimension beschrieben und vertiefend erklärt wird. Abschließend werden unterschiedliche Wischaktivi-täten in der Ebene und im Raum anhand zahlreicher Beispiele skizziert und diese miteinander verglichen.
Förderung des geometrischen Denk- und Vorstellungsvermögens, dargestellt an einer Unterrichtseinheit "Achsensymmetrie" (2. Schuljahr)
Kegelschnitte und Dandelinsche Kugeln. Die Kurven Ellipse, Hyperbel und Parabel
Bachelorarbeit aus dem Jahr 2023 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, , Sprache: Deutsch, Abstract: Ziel der Arbeit ist es, mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln zu zeigen, dass es sich bei den betrachteten Kegelschnitten tatsächlich um die Kurven Ellipse, Hyperbel und Parabel handelt. Dafür werden zunächst die Grundlagen definiert und im Anschluss die Kegelschnitte am Kegel beleuchtet. Anschließend werden die Kurven definiert und konstruiert. Durch Hinzunahme der Dandelinschen Kugeln werden daraufhin die Eigenschaften der Kurven im Kreiskegel untersucht und mit den vorherigen Definitionen verknüpft. Nach der Verifizierung folgt dann eine Analyse der Kegelschnitte. Hierbei werden der Formparameter und die Exzentrizität betrachtet. Anhand dessen kann die Herleitung der Kurvengleichungen vollzogen werden. Abschließend wird die allgemeine Scheitelgleichung hergeleitet.Unser Wissen hat einen direkten Einfluss darauf, was wir wahrnehmen und wie wir unsere Umwelt interpretieren. In den 1970er Jahren wurde die Thematik der Kegelschnitte aus den deutschen Lehrplänen gestrichen und findet bis heute kaum noch Beachtung im Unterricht. Durch die resultierende Unwissenheit entsteht eine verringerte Wahrnehmung des Kegelschnitts in unserem Alltag.Tatsächlich handelt es sich bei dem Themenbereich Kegelschnitte um ein vielseitiges Gebiet, welches nicht nur eine mathematische Relevanz hat, sondern auch in unserem Alltag von Bedeutung ist. Wird zum Beispiel eine Taschenlampe in die Richtung einer Wand gehalten, so schneidet diese den entsendeten Lichtkegel. Auf der Wand sind dann die Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel abbildbar. In der Astronomie kreisen die Planeten auf elliptischen Bahnen, beim Betrachten einer Brücke sind die Seile zur Befestigung parabelförmig und in der Leichtathletik ist eine Wurfparabel zu finden. Auch für die technische Anwendung der Ortung werden die Eigenschaften der Hyperbel herangezogen.
Lecture Notes on Differential Geometry
Document from the year 2015 in the subject Mathematics - Geometry, , course: Differential Geometry, language: English, abstract: This is a Lecture Notes on a one semester course on Differential Geometry taught as a basic course in all M.Sc./M.S. programmes in Mathematics. This consists normally of curve theory leading up to fundamental theorem of space curves as well as the Gauss theory of surfaces covering first fundamental form, second fundamental form, Gaussian curvature, geodesic and Gauss Bonnet theorem. This Lecture Notes is based on lectures I have given to M.Sc. Mathematics students of Sardar Patel University, Vallabh Vidyanagar, India.Here are the salient features of the Lecture Notes. Proofs of all assertions are completely given in a lucid student friendly manner. A large number of solved exercises are included. All these are to facilitate self study by the students. I have also adopted the modern approach to develop the classical topics treated here. The Lecture Notes is highly influenced by the approach adopted in Elementary Differential Geometry by Andrew Pressley and Differential Geometry of Curves and Surfaces by Manfredo P. do Carmo. I am indebted to these authors whose work have influenced my learning of the subject as well as the preparation of this Lecture Notes. I hope this little book would invite the students to the subject of Differential Geometry and would inspire them to look to some comprehensive books including those mentioned above.
Practical solution of selected geometrical problems by the iterative approximation method
Scientific Essay from the year 2023 in the subject Mathematics - Geometry, , language: English, abstract: The book presents practical solutions for geometric problems using iterative approximation. But what is a geometric problem, and in particular its solution by iterative approximation?I will not discuss or define the basic principles of Euclidean geometry, nor its origins, which are lost in the darkness of history, nor will I discuss its development. I merely want the reader to find a practical way to solve geometrical problems. At the same time, geometry should not only be considered a technician's, engineer's or scientist's field of work but as a toy that opens the way to an intellectually active mind, at the highest level.
Solvability in Analytic Geometry
Research Paper (postgraduate) from the year 2011 in the subject Mathematics - Geometry, grade: 11, University of Cambridge, language: English, abstract: Let i0 be an integrable, freely one-to-one equation acting ultrasmoothlyon a i-universally Brouwer system. In [21], it is shown thatw 6= 1. We show that Weyl's criterion applies. Thus C. Eisenstein'sextension of non-complete rings was a milestone in analytic representationtheory. In contrast, this could shed important light on a conjectureof Maxwell{Hausdor.